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Einführende Anmerkungen
Die Methode der finiten Elemente bedeutet mehr, als dass man ein Tragwerk in kleine Elemente zerlegt, sie in den Knoten verbindet und die Belastung durch Knotenkräfte ersetzt. Das ist ein beliebtes Modell, aber dieses Modell verkürzt die statische Wirklichkeit in einem solchen Maße, dass es schon wieder irreführend ist. Zu oft wird vergessen, dass dieses Modell nur ein Modell 'als ob' ist. Wir beginnen mit einigen Thesen.
Wenn man ein Tragwerk mit finiten Elementen berechnet, so restringiert man das Verformungsverhalten des Tragwerks - man legt ihm praktisch Fesseln an. Das Tragwerk kann dann nur noch diejenigen Verformungszustände annehmen, die sich durch die Elementansätze beschreiben lassen. Je mehr Möglichkeiten eine Struktur hat, sich zu bewegen, je feiner also die Unterteilung in Elemente ist, um so besser gelingt es dem Programm, das reale Tragverhalten anzunähern und um so größer ist damit die Genauigkeit der Berechnung.
Es ist möglich, die FEM als ein Ersatzlastverfahren zu interpretieren. Damit meinen wir: Ein FE-Programm ersetzt die wahre Belastung durch eine arbeitsäquivalente Belastung. Für diesen Ersatzlastfall bemessen wir unsere Tragwerke. Das ist aus statischer Sicht vielleicht die wichtigste Bemerkung, die man über die Methode der finiten Elemente machen kann. Lesen Sie hier mehr zum äquivalenten Lastfall.
Ein FE-Programm denkt und rechnet in Arbeit und Energie. Kräfte, die keine Arbeit leisten, existieren für ein FE-Programm nicht. Knotenkräfte repräsentieren Äquivalenzklassen von Kräften. Lasten, die dieselbe Arbeit leisten, sind für ein FE-Programm identisch. Weil die FEM ein Energieverfahren ist, lassen sich Probleme, bei denen die Verzerrungsenergie unendlich groß ist, wie beim Angriff einer Einzelkraft in einer Scheibe oder der Linienlagerung eines Betonblocks, mit finiten Elementen daher (theoretisch) nicht lösen.
Ein Element und das damit erzeugte Netz ist so gut, wie die Einflussfunktionen, die man auf diesem Netz darstellen kann. Nach den Regeln der Statik ist die Verformung oder die Spannung in einem Punkt, die Überlagerung der Belastung mit der zugehörigen Einflussfunktion (Greenschen Funktion). Statt der exakten Einflussfunktionen setzt ein FE-Programm dafür genäherte Greensche Funktionen, und daher ist der Fehler einer FE-Lösung direkt mit dem Abstand der genäherten Greenschen Funktion von der exakten Greenschen Funktion verknüpft.
Koppelt man einen Balken an eine Platte oder einen Stab an eine Scheibe, dann sind in der Schnittfuge die Schnittgrößen auf beiden Seiten des Schnittufers nicht mehr punktweise gleich. Gleich ist vielmehr die Arbeit, welche von den Schnittkräften auf den Wegen der Einheitsverformungen der Knoten geleistet wird. Aus demselben Grund werden bei der FEM die statischen Randbedingungen nur noch in schwacher Form erfasst.
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